στατική

I

Τμήμα της μηχανικής που μελετά τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων. Οι πρώτες μελέτες επί της ισορροπίας γεννήθηκαν από πρακτικές ανάγκες και οι πρώτες γνωστές σαφείς έννοιες αναφέρονται στη χρήση του μοχλού. Η επιστημονική διερεύνηση του προβλήματος της ισορροπίας του μοχλού και η διατύπωση της γενικής αρχής της οφείλεται στον Αρχιμήδη: δύο βάρη ισορροπούν όταν τα μεγέθη τους είναι αντιστρόφως ανάλογα προς τα μήκη των βραχιόνων από τους οποίους είναι αναρτημένα. Ο Αρχιμήδης έλυσε το πρόβλημα με τη μέθοδο των αναλογιών, χωρίς να παραδέχεται την έννοια της δύναμης, που διατύπωσε σε γενικούς όρους ο Αριστοτέλης, από την οποία θα προέκυπτε αργότερα η έννοια της «ροπής». Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι κατόπιν προχώρησε ένα βήμα προς την επιβεβαίωση της έννοιας αυτής, όταν καθόρισε ότι για τον ορισμό των συνθηκών ισορροπίας του μοχλού δεν είναι τόσο σημαντική η απόσταση του βάρους από το υπομόχλιο, όσο ο πραγματικός «μοχλοβραχίων», δηλαδή η απόσταση του υπομοχλίου από την ευθεία κατά την οποία δρα η δύναμη.

Μια σημαντική συνεισφορά στη γνώση των προβλημάτων ισορροπίας έγινε με τη μελέτη του κεκλιμένου επίπεδου. Τη λύση του προβλήματος της ισορροπίας σ’ ένα κεκλιμένο επίπεδο παρουσίασε για πρώτη φορά ο Τζορντάνο Νεμοράριο (13ος αι.) ή η σχολή του, η οποία στη σημαντική απόδειξη της χρησιμοποιεί την έννοια του μηχανικού έργου. Ο Γαλιλαίος καθόρισε με πολύ ακριβή τρόπο την αναγκαία δύναμη για να κρατήσουμε ένα βαρύ σώμα σε ισορροπία επί ενός κεκλιμένου επίπεδου, αποδεικνύοντας ότι ο λόγος αυτής προς το βάρος του σώματος είναι ο λόγος του ύψους του επίπεδου ως προς το μήκος του. Συγχρόνως το πρόβλημα της ισορροπίας επί του κεκλιμένου επίπεδου αντιμετωπίστηκε και λύθηκε κατά μεγαλοφυή τρόπο από το Σιμόν Στεβέν, ο οποίος εισήγαγε μια ιδέα θεμελιώδους σημασίας για τους συνδέσμους. Ανακάλυψε, δηλαδή, ότι το χαρακτηριστικό του συνδέσμου αποτελείται από τις στοιχειώδεις κινήσεις, τις οποίες κάθε σύνδεσμος επιτρέπει στο σύστημα. Με την έννοια αυτή ένα σώμα συγκρατούμενο επί ενός κεκλιμένου επίπεδου από ένα τεταμένο νήμα παράλληλο προς το επίπεδο αυτό υφίσταται έναν σύνδεσμο που αποτελείται από το επίπεδο. Οι επιτρεπόμενες μετακινήσεις είναι, για κάθε θέση, εκείνες που κατανέμονται ακτινοειδώς γύρω από την ορισμένη θέση και βρίσκονται από τη μια μόνο μεριά του επίπεδου. Αν, όμως, μ’ ένα νήμα, κάθετο προς αυτό το οποίο ενώνει το σώμα, αντικαταστήσουμε το επίπεδο με ένα σταθερό σημείο, το νήμα αυτό επιτρέπει τις ίδιες στοιχειώδεις κινήσεις που επιτρέπει και το επίπεδο, τουλάχιστον στις άμεσα γειτονικές θέσεις. Με τον τρόπο αυτό το σώμα συγκρατείται από δύο νήματα κάθετα μεταξύ τους, και, σε συνδυασμό με τα πορίσματα του Γαλιλαίου, έχουμε ότι η τάση που προκαλεί το σώμα σε κάθε νήμα λαμβάνεται γραφικά αν προβάλουμε το διάνυσμα που παριστάνει το βάρος κάθετα προς το νήμα αυτό. Ο Στεβέν κατόρθωσε έτσι να χαράξει το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων.

Κατά την περίοδο αυτή, στα έργα του Καρτέσιου εμφανίζεται και προβάλλεται πολύ η έννοια της ισότητας των έργων (ένα σύστημα αποτελούμενο από δύο συνδεμένα σώματα ισορροπεί όταν το έργο που θα έπρεπε να παράγει το πρώτο είναι ίσο και αντίθετο μ’ εκείνο που έπρεπε να παράγει το δεύτερο), η οποία έλαβε τη θέση του θεμελιώδους παράγοντα για την ύπαρξη της ισορροπίας. Ο Καρτέσιος προσδιόρισε επίσης ότι η απόδειξη ισχύει μόνο αν θεωρήσουμε μετακινήσεις των εξεταζόμενων σωμάτων πολύ μικρές, σε συμφωνία με την ισοδυναμία των συνδέσμων, η οποία υποστηρίχτηκε από τον Γαλιλαίο και τον Στεβέν, υπογραμμίζοντας έτσι τον απειροστό χαρακτήρα της αρχής των έργων. Μια άλλη ανακάλυψη θεμελιώδους σημασίας έγινε από τον Πιερ Βαρινιόν (1654-1722) ως προς τη ροπή: η ροπή στο σημείο της συνισταμένης δύο δυνάμεων είναι ίση προς το άθροισμα των ροπών που προκύπτει από τις συνιστώσες. Ακολούθως ο Φουριέ (1758-1830) επανέλαβε την αρχή των έργων, που ορίστηκε με τόση ακρίβεια από τον Καρτέσιο, καθορίζοντας ποιες είναι οι δράσεις των συνδέσμων επί των σημείων και ποιους συνδέσμους πρέπει να υπολογίζουμε: πρόκειται για τους συνδέσμους χωρίς τριβή, δηλαδή εκείνους που ασκούν επί των συνδεόμενων σημείων μια δράση (αντίδραση συνδέσμου) που μπορεί να θεωρηθεί κάθετη επί των μικρών μετακινήσεων που επιτρέπονται από το σύνδεσμο (δυνατές μετακινήσεις). Αυτό θα ονομαστεί «αρχή των δυνατών έργων». Ένα υλικό σύστημα μπορεί να θεωρηθεί πολύπλοκο όταν αποτελείται από πολλά σημεία ενωμένα μεταξύ τους με συνδέσμους χωρίς τριβή. Τα σημεία μπορούν να θεωρηθούν ελεύθερα αν οι σχετικές δράσεις και αντιδράσεις αντικαταστήσουν τους συνδέσμους που τα συνδέουν το ένα με το άλλο. Με αφετηρία τις προϋποθέσεις αυτές, ο Ντ’ Αλαμπέρ έδωσε την τελική μορφή στην αρχή των δυνατών έργων: η αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ισορροπία ενός υλικού συστήματος, που υπόκειται σε συνδέσμους χωρίς τριβή, είναι το άθροισμα των έργων των δυνάμεων, οι οποίες εφαρμόζονται απευθείας επ’ αυτού, να ισούται με το μηδέν για όλα τα συστήματα των δυνατών μετακινήσεων, δηλαδή των πολύ μικρών μετακινήσεων που επιτρέπουν οι σύνδεσμοι. Στο σημείο αυτό η σ. βρήκε τη βασική της αρχή στην οποία ο Λαγκράνζ, με μια θαυμάσια νέα διατύπωση, ανήγαγε όλα τα προβλήματα της ισορροπίας των στερεών, των παραμορφωμένων συστημάτων και των υγρών. Από αυτή ο Λαπλάς και ο Γκάους συνήγαγαν τους νόμους των τριχοειδών αγγείων, ο Κοσί, ο Πουασόν και ο Γκρην όρισαν τις συνθήκες που ισχύουν σ’ ένα σύστημα υφιστάμενο ελαστικές παραμορφώσεις. Ακολούθως ο Τζιμπς και ο Χέλμολτς στηρίχτηκαν στην αρχή των δυνατών έργων για v’ αναπτύξουν τη χημική μηχανική και την ηλεκτρική μηχανική. Η αρχή των δυνατών έργων αν εφαρμοστεί στα απολύτως στερεά συστήματα (δηλαδή σ’ εκείνα που αποτελούνται από υλικά σημεία συνδεμένα έτσι ώστε να μένουν αμετάβλητες οι μεταξύ τους αποστάσεις) μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ισορροπία υφίσταται όταν μηδενίζεται η συνισταμένη δύναμη και η συνισταμένη ροπή των εφαρμοζόμενων δυνάμεων. Επειδή ένα σώμα υφίσταται σχεδόν πάντοτε συνδέσμους μόνο εσωτερικούς (δηλαδή εκείνους που συνδέουν σημεία μεταξύ τους) αλλά και εξωτερικούς (όταν π.χ. είναι υποχρεωμένο να κινείται επί μιας επιφάνειας ή να περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο), οι εξισώσεις που καθορίζουν την ισορροπία και προέρχονται από μόνη την αρχή των δυνατών έργων είναι ικανές να καθορίσουν και την τιμή που παίρνουν οι αντιδράσεις των συνδέσμων.

Τα προβλήματα της ισορροπίας μπορούν να επιλυθούν πολύ καλά και με γραφικές μεθόδους (γραφοστατική). Η αρχή επί της οποίας βασίζεται η μέθοδος είναι του παραλληλόγραμμου των δυνάμεων. Στην περίπτωση αυτή παραλείπουμε τα εξεταζόμενα σώματα και εξετάζουμε μόνο τις δυνάμεις που ενεργούν. Για να επιλύσουμε ευκολότερα το πρόβλημα, αντί να βρίσκουμε τις συνισταμένες των δυνάμεων, λαβαίνοντας αυτές δύο ανά δύο, κατασκευάζουμε το λεγόμενο «δυναμοπολύγωνο», δηλαδή ένα πολύγωνο που ξεκινά από ένα αυθαίρετο σημείο και έχει για πλευρές τις ίδιες τις δυνάμεις. Αν το πολύγωνο προκύψει κλειστό, τούτο σημαίνει ότι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων είναι ίση με το μηδέν. Για να υπάρξει ισορροπία πρέπει να επαληθευτεί ότι είναι μηδενική και η συνισταμένη ροπή. Για τον σκοπό αυτό κατασκευάζουμε ένα δεύτερο πολύγωνο (πολύγωνο των διαδοχικών συνισταμένων), το οποίο έχει αρχή το σημείο που τέμνονται οι ευθείες δράσης των δύο πρώτων δυνάμεων και οι πλευρές του έχουν τα άκρα τους στους επόμενους άξονες διεύθυνσης και είναι παράλληλες προς τις συνισταμένες τις οποίες λαμβάνουμε διαδοχικά δύο ανά δύο, με τη μέθοδο των παραλληλόγραμμων των συνισταμένων δυνάμεων μέχρι εξάντλησης όλων των δυνάμεων. Αν η τελευταία δύναμη προκύψει παράλληλη προς την τελευταία πλευρά του πολύγωνου υπάρχει μια ροπή διάφορη του μηδενός, αν αντίθετα η δύναμη έχει ως ευθεία διεύθυνσης την πλευρά αυτή καθαυτήν, τότε η ροπή είναι μηδέν. Μια άλλη γραφική μέθοδος είναι του «σχοινοπολύγωνου», δηλαδή της μελέτης ενός υποθετικού νήματος το οποίο υφίσταται τις εξεταζόμενες δυνάμεις. Το νήμα παίρνει τη μορφή ενός πολύγωνου του οποίου οι ακραίες πλευρές μπορεί να είναι λοξές μεταξύ τους ή παράλληλες ή να κείνται επί της ίδιας ευθείας. Στην πρώτη περίπτωση, η συνισταμένη είναι διάφορη του μηδενός, στη δεύτερη η συνισταμένη είναι ίση με το μηδέν, αλλά υπάρχει μια ροπή των δυνάμεων, στην τρίτη το σύστημα είναι σε ισορροπία.

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιούνταν πολύ από τους τεχνικούς γιατί τους απάλλασε από πολλούς αριθμητικούς υπολογισμούς και έδινε αποτελέσματα με μια καλή προσέγγιση, αρκετή για τις πρακτικές απαιτήσεις. Χρησιμοποιούνταν ιδιαίτερα για τα δικτυώματα.

Σήμερα τα προβλήματα στατικής επιλύονται με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, κάνοντας χρήση αριθμητικών μεθόδων. Ευρέως χρησιμοποιούμενη είναι η αριθμητική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, η οποία είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για ανάλυση γραμμικών ή επιφανειακών φορέων. Σημαντικό ερευνητικό έργο στην ανάπτυξη των πεπερασμένων στοιχείων διεξήχθη, μεταξύ άλλων, από τους καθηγητές Ι. Αργύρη, Ρ. Γκάλαχερ, Ο. Ζίγκεβιτς, Π. Παναγιωτόπουλο, Δ. Ταλασλίδη. Μια από τις περισσότερο σύγχρονες προηγμένες υπολογιστικές μεθόδους στατικής ανάλυσης είναι η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων, η οποία είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για ανάλυση ρηγματωμένων δομικών στοιχείων. Σημαντικό έργο στη βελτίωση της μεθόδου των συνοριακών στοιχείων διεξήχθη μεταξύ άλλων από τους καθηγητές Κ. Μπρέμπια, Α. Τσενγκ, Μ. Τανάκα, Κ. Προβατίδη, Χ. Χασεγκάβα, Θ. Κερμανίδη και Δ. Παύλου.

II

(statice). Άλλη ονομασία του φυτού λιμόνιο (limonium). Είναι φυτό δικότυλο της οικογένειας των Πλουμβαλιτιδών, με 180 περίπου είδη, τα οποία ευδοκιμούν σε παραθαλάσσιες αμμώδεις εκτάσεις αλλά και σε βουνά. Είναι πόα πολυετής με σκληρό βλαστό και μεμβρανώδη λέπια. Τα φύλλα του είναι όλα παράρριζα και τα άνθη του μπλε, ρόδινα ή κιτρινόλευκα. Είναι διακοσμητικό φυτό και καλλιεργείται εύκολα. Στην Ελλάδα είναι αυτοφυές και τα είδη του φτάνουν τα 14. Τα συνηθέστερα από αυτά είναι σ. η κολπωτή, σ. η εχιοειδής και η σ. η γμελίνειος.

Χαρακτηριστικό είδος του φυτού στατική.

* * *

η, ΝΜΑ

βλ. στατικός.